Distance d'un point à une droite ou à un plan
Orthogonalité et distances dans l’espace - Mathématiques Spécialité
Exercice 1 : Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan et la distance d'un point à un plan
Dans un repère orthonormé de l'espace, \( \mathcal{P} \) est le plan d'équation cartésienne \( 2x + 2y + 4z + 4=0 \) et \( A \) le point de coordonnées \( \left(-3;3;-4\right) \).
Déterminer les coefficients d'une représentation paramétrique de la droite \[ \Delta : \left\{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & a_xt + b_x \\ y & = & a_yt + b_y \\ z & = & a_zt + b_z \end{array} \right.\quad t \in \mathbb{R} \] passant \( A \) et orthogonale à \( \mathcal{P} \).On répondra sous forme d'un sextuplet \( (a_x ; a_y ; a_z ; b_x ; b_y ; b_z) \)
En déduire les coordonnées du point \( H \), projeté orthogonal de \( A \) sur \( \mathcal{P} \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x; y; z) \)
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x; y; z) \)
Calculer la distance du point \( A \) au plan \( \mathcal{P} \).
On donnera la valeur exacte
On donnera la valeur exacte
Exercice 2 : Distance entre un point et une droite, équation paramétrique
L'espace est muni d'un repère orthonormé \( (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k} )\).
Soit le point \(M \left(17;15;-32\right)\) et la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 + 0t \\ y & = & -1 + 3t \\ z & = & -2 + 5t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \] Calculer la distance entre \(M\) et \(\left(d\right)\)
Soit le point \(M \left(17;15;-32\right)\) et la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 + 0t \\ y & = & -1 + 3t \\ z & = & -2 + 5t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \] Calculer la distance entre \(M\) et \(\left(d\right)\)
Exercice 3 : Trouver des projetés orthogonaux et calculer des distances point-droite et point-plan
\(DEFGHIJK \) est un pavé droit. \(DE = 1\:\text{cm}\), \(DG = 3\:\text{cm}\), \(DH = 6\:\text{cm}\). \( L \) et \( M \) sont les centres respectifs des faces \( EFJI \) et \( DGKH \). Le point \( N \) est le milieu du segmet \( [IE] \).
Compléter les phrases suivantes :
On donnera les valeurs exactes des distances sous la forme d'un entier, d'un décimal ou d'une racine carrée avec l'unité qui convient.
On donnera les valeurs exactes des distances sous la forme d'un entier, d'un décimal ou d'une racine carrée avec l'unité qui convient.
La distance entre ce point et ce plan est :
La distance entre ce point et ce plan est :
La distance entre ce point et cette droite est :
La distance entre ce point et cette droite est :
La distance entre ce point et cette droite est :
Exercice 4 : Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite et la distance d'un point à ce plan
Dans un repère orthonormé de l'espace :
- \( d \) est la droite qui passe par le point \( A \left(1;-2;3\right) \).
- \( \overrightarrow{u} \left(1;-1;3\right) \) est un vecteur directeur de cette droite.
- \( B \) est le point de coordonnées \( \left(3;2;-3\right) \).
En déduire les coordonnées du point \( K \), projeté orthogonal de \( B \) sur \(d \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x;y;z) \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x;y;z) \).
Calculer la distance du point \( B \) à la droite \( d \).
On donnera une valeur approcchée à \( 0.01 \)
On donnera une valeur approcchée à \( 0.01 \)
Exercice 5 : Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan et la distance d'un point à un plan
Dans un repère orthonormé de l'espace, \( \mathcal{P} \) est le plan d'équation cartésienne \( -4x + y -3z + 3=0 \) et \( A \) le point de coordonnées \( \left(3;1;1\right) \).
Déterminer les coefficients d'une représentation paramétrique de la droite \[ \Delta : \left\{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & a_xt + b_x \\ y & = & a_yt + b_y \\ z & = & a_zt + b_z \end{array} \right.\quad t \in \mathbb{R} \] passant \( A \) et orthogonale à \( \mathcal{P} \).On répondra sous forme d'un sextuplet \( (a_x ; a_y ; a_z ; b_x ; b_y ; b_z) \)
En déduire les coordonnées du point \( H \), projeté orthogonal de \( A \) sur \( \mathcal{P} \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x; y; z) \)
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x; y; z) \)
Calculer la distance du point \( A \) au plan \( \mathcal{P} \).
On donnera la valeur exacte
On donnera la valeur exacte
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