Orthogonalité et distances dans l’espace - Spécialité
Distance d'un point à une droite ou à un plan
Exercice 1 : Distance entre un point et une droite, équation paramétrique
L'espace est muni d'un repère orthonormé \( (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k} )\).
Soit le point \(M \left(11;23;-27\right)\) et la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -3 + 8t \\ y & = & -5 + 6t \\ z & = & 5 -10t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \] Calculer la distance entre \(M\) et \(\left(d\right)\)
Soit le point \(M \left(11;23;-27\right)\) et la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -3 + 8t \\ y & = & -5 + 6t \\ z & = & 5 -10t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \] Calculer la distance entre \(M\) et \(\left(d\right)\)
Exercice 2 : Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan et la distance d'un point à un plan
Dans un repère orthonormé de l'espace, \( \mathcal{P} \) est le plan d'équation cartésienne \( - x + y -4z + 2=0 \) et \( A \) le point de coordonnées \( \left(1;2;-2\right) \).
Déterminer les coefficients d'une représentation paramétrique de la droite \[ \Delta : \left\{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & a_xt + b_x \\ y & = & a_yt + b_y \\ z & = & a_zt + b_z \end{array} \right.\quad t \in \mathbb{R} \] passant \( A \) et orthogonale à \( \mathcal{P} \).On répondra sous forme d'un sextuplet \( (a_x ; a_y ; a_z ; b_x ; b_y ; b_z) \)
En déduire les coordonnées du point \( H \), projeté orthogonal de \( A \) sur \( \mathcal{P} \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x; y; z) \)
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x; y; z) \)
Calculer la distance du point \( A \) au plan \( \mathcal{P} \).
On donnera la valeur exacte
On donnera la valeur exacte
Exercice 3 : Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite et la distance d'un point à ce plan
Dans un repère orthonormé de l'espace :
- \( d \) est la droite qui passe par le point \( A \left(3;1;2\right) \).
- \( \overrightarrow{u} \left(1;-1;3\right) \) est un vecteur directeur de cette droite.
- \( B \) est le point de coordonnées \( \left(-1;-2;-1\right) \).
En déduire les coordonnées du point \( K \), projeté orthogonal de \( B \) sur \(d \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x;y;z) \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x;y;z) \).
Calculer la distance du point \( B \) à la droite \( d \).
On donnera une valeur approcchée à \( 0.01 \)
On donnera une valeur approcchée à \( 0.01 \)
Exercice 4 : Distance entre un point et une droite, équation paramétrique
L'espace est muni d'un repère orthonormé \( (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k} )\).
Soit le point \(M \left(35;21;-26\right)\) et la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 -3t \\ y & = & -4 + 6t \\ z & = & 4 -5t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \] Calculer la distance entre \(M\) et \(\left(d\right)\)
Soit le point \(M \left(35;21;-26\right)\) et la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 -3t \\ y & = & -4 + 6t \\ z & = & 4 -5t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \] Calculer la distance entre \(M\) et \(\left(d\right)\)
Exercice 5 : Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan et la distance d'un point à un plan
Dans un repère orthonormé de l'espace, \( \mathcal{P} \) est le plan d'équation cartésienne \( 3x - y -2z -3=0 \) et \( A \) le point de coordonnées \( \left(-2;-2;-3\right) \).
Déterminer les coefficients d'une représentation paramétrique de la droite \[ \Delta : \left\{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & a_xt + b_x \\ y & = & a_yt + b_y \\ z & = & a_zt + b_z \end{array} \right.\quad t \in \mathbb{R} \] passant \( A \) et orthogonale à \( \mathcal{P} \).On répondra sous forme d'un sextuplet \( (a_x ; a_y ; a_z ; b_x ; b_y ; b_z) \)
En déduire les coordonnées du point \( H \), projeté orthogonal de \( A \) sur \( \mathcal{P} \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x; y; z) \)
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x; y; z) \)
Calculer la distance du point \( A \) au plan \( \mathcal{P} \).
On donnera la valeur exacte
On donnera la valeur exacte